设直线x=t与函数f(x)=x2+1,g(x)=x+lnx的图象分别交于P,Q两点,则|PQ|的最小值是( ...
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设直线x=t与函数f(x)=x2+1,g(x)=x+ln x的图象分别交于P,Q两点,则|PQ|的最小值是( )
A.- B. C.1 D.-或1
【回答】
C
[解析] 直线x=t与函数f(x)=x2+1,g(x)=x+ln x的图象分别交于P(t,f(t)),Q(t,g(t))两点,则|PQ|=|f(t)-g(t)|.
记h(t)=f(t)-g(t)=t2+1-(t+ln t).
函数h(t)的定义域为(0,+∞),h′(t)=2t-1-=(2t2-t-1)=(2t+1)(t-1).
由h′(t)=0,解得t=1或t=-(舍去).
显然当t∈(0,1)时,h′(t)<0,函数h(t)单调递减;当t∈(1,+∞)时,h′(t)>0,函数h(t)单调递增.
故函数h(t)的最小值为h(1)=12+1-(1+ln 1)=1,故|PQ|的最小值为1.
知识点:函数的应用
题型:选择题
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