如图8-54,已知在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于...
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问题详情:
如图8-54,已知在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.
图8-54
(1)求四边形AQMP的周长;
(2)写出图中的两对相似三角形(不需*);
(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形?说明你的理由.
【回答】
2a.
提示:根据平行的*质可以得到平行四边形和两个等腰三角形,由对边和腰相等,四边形的周长等于△ABC的两腰之和.
∵PM∥AB,QM∥AC,
∴四边形AQMP为平行四边形,
且∠1=∠C,∠2=∠B.
又∵AB=AC=a,
∴∠B=∠C.
∴∠1=∠B=∠C=∠2.
∴QB=QM,PM=PC.
∴四边形AQMP的周长为
AQ+QM+MP+PA=AQ+QB+PC+PA=AB+AC=2a.
(2)*:△BQM∽△MPC∽△BAC.
(3)*:当M为底边BC的中点时,四边形AQMP为菱形.
提示:四边形AQMP已是平行四边形,要使之为菱形,则需有一组邻边相等.
理由:∵M为底边BC的中点,
∴BM=CM.
由(1)知∠B=∠C,∠1=∠2,
∴△BQM≌△CMP.
∴PM=QM.
由(1)四边形AQMP为平行四边形,
∴四边形AQMP为菱形.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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