如图,直线y=﹣x+2与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A(a,3),B(3,b)两点,过点A作AC⊥x轴于...
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如图,直线y=﹣x+2与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A(a,3),B(3,b)两点,过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D.
(1)求a,b的值及反比例函数的解析式;
(2)若点P在直线y=﹣x+2上,且S△ACP=S△BDP,请求出此时点P的坐标;
(3)在x轴正半轴上是否存在点M,使得△MAB为等腰三角形?若存在,请直接写出M点的坐标;若不存在,说明理由.
【回答】
解:(1)∵直线y=﹣x+2与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A(a,3),B(3,b)两点,
∴﹣a+2=3,﹣3+2=b,
∴a=﹣1,b=﹣1,
∴A(﹣1,3),B(3,﹣1),
∵点A(﹣1,3)在反比例函数y=上,
∴k=﹣1×3=﹣3,
∴反比例函数解析式为y=﹣;
(2)设点P(n,﹣n+2),
∵A(﹣1,3),
∴C(﹣1,0),
∵B(3,﹣1),
∴D(3,0),
∴S△ACP=AC×|xP﹣xA|=×3×|n+1|,S△BDP=BD×|xB﹣xP|=×1×|3﹣n|,
∵S△ACP=S△BDP,
∴×3×|n+1|=×1×|3﹣n|,
∴n=0或n=﹣3,
∴P(0,2)或(﹣3,5);
(3)设M(m,0)(m>0),
∵A(﹣1, 3),B(3,﹣1),
∴MA2=(m+1)2+9,MB2=(m﹣3)2+1,AB2=(3+1)2+(﹣1﹣3)2=32,
∵△MAB是等腰三角形,
∴①当MA=MB时,
∴(m+1)2+9=(m﹣3)2+1,
∴m=0,(舍)
②当MA=AB时,
∴(m+1)2+9=32,
∴m=﹣1+或m=﹣1﹣(舍),
∴M(﹣1+,0)
③当MB=AB时,(m﹣3)2+1=32,
∴m=3+或m=3﹣(舍),
∴M(3+,0)
即:满足条件的M(﹣1+,0)或(3+,0).
知识点:反比例函数
题型:解答题
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