如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.(1)求*...
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如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.
(1)求*:四边形EFDG是菱形;
(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AG=6,EG=2,求BE的长.
【回答】
(1)*见解析;(2)EG2=GF•AF.理由见解析;(3)BE=.
【解析】
(1)先依据翻折的*质和平行线的*质*∠DGF=∠DFG,从而得到GD=DF,接下来依据翻折的*质可*DG=GE=DF=EF;(2)连接DE,交AF于点O.由菱形的*质可知GF⊥DE,OG=OF=GF,接下来,*△DOF∽△ADF,由相似三角形的*质可*DF2=FO•AF,于是可得到GE、AF、FG的数量关系;(3)过点G作GH⊥DC,垂足为H.利用(2)的结论可求得FG=4,然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长,然后再*△FGH∽△FAD,利用相似三角形的*质可求得GH的长,最后依据BE=AD-GH求解即可.
【详解】
(1)*:∵GE∥DF,
∴∠EGF=∠DFG.
∵由翻折的*质可知:GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF,
∴∠DGF=∠DFG.
∴GD=DF.
∴DG=GE=DF=EF.
∴四边形EFDG为菱形.
(2)EG2=GF•AF.
理由:如图1所示:连接DE,交AF于点O.
∵四边形EFDG为菱形,
∴GF⊥DE,OG=OF=GF.
∵∠DOF=∠ADF=90°,∠OFD=∠DFA,
∴△DOF∽△ADF.
∴,即DF2=FO•AF.
∵FO=GF,DF=EG,
∴EG2=GF•AF.
(3)如图2所示:过点G作GH⊥DC,垂足为H.
∵EG2=GF•AF,AG=6,EG=2,
∴20=FG(FG+6),整理得:FG2+6FG﹣40=0.
解得:FG=4,FG=﹣10(舍去).
∵DF=GE=2,AF=10,
∴AD==4.
∵GH⊥DC,AD⊥DC,
∴GH∥AD.
∴△FGH∽△FAD.
∴,即=.
∴GH=.
∴BE=AD﹣GH=4﹣=.
【点睛】
本题考查了四边形的综合问题,熟练掌握四边形的*质、判定定理等相关知识点是本题解题的关键.
知识点:勾股定理
题型:解答题
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