已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P...

问题详情：

已知椭圆C：

＋

＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P

.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且

＝

＋

，求点Q的轨迹方程．

【回答】

解　(1)由椭圆定义知

2a＝|PF1|＋|PF2|＝

＝2

.

所以a＝

.

又由已知得，c＝1，所以椭圆C的离心率e＝

＝

＝

.

(2)由(1)知，椭圆C的方程为

＋y2＝1.

设点Q的坐标为(x，y)．

(i)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为

.

(ii)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.

因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，则

|AM|2＝(1＋k2)x

，|AN|2＝(1＋k2)x

.

又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.

由

得

即

＝

＋

＝

.①

将y＝kx＋2代入

＋y2＝1中，得

(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②

由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞

.

由②可知，x1＋x2＝

，x1x2＝

，

代入①中并化简，得

x2＝

.③

因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以k＝

，代入③中并化简，得10(y－2)2－3x2＝18.

由③及k2＞

，可知0＜x2＜

，

即x∈

又

满足10(y－2)2－3x2＝18，

故x∈

.

由题意知点Q(x，y)在椭圆C内，所以－1≤y≤1，

又由10(y－2)2＝18＋3x2有

(y－2)2∈

，且－1≤y≤1，则y∈

.

所以点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈

，y∈

.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题