已知函數f（x）=x2+ax﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=1，求函數f（x）的單調區間和極值；（2）若函數...

問題詳情：

已知函數f（x）=x2+ax﹣2lnx（a∈R）．

（1）若a=1，求函數f（x）的單調區間和極值；

（2）若函數f（x）在區間（0，2]上單調遞減，求實數a的取值範圍．

【回答】

【考點】6D：利用導數研究函數的極值；6B：利用導數研究函數的單調*．

【分析】（1）求出函數的導數，解關於導函數的不等式，求出函數的單調區間和極值即可；

（2）問題轉化爲在區間（0，2]上恆成立，設，根據函數的單調*求出a的範圍即可．

【解答】解：（1）．

當a=1時，，定義域爲（0，+∞）．

其導函數爲

令f'（x）＞0可得：x＞1；

令f'（x）＜0可得：0＜x＜1．

故函數f（x）的單調遞增區間爲（1，+∞），單調遞減區間爲（0，1），

f（x）的極小值爲，無極大值．

（2）f（x）的導函數爲，

由函數f（x）在區間（0，2]上爲減函數可得：

f'（x）≤0即x2+ax﹣2≤0在區間（0，2]上恆成立，

即在區間（0，2]上恆成立，

設，可知y=g（x）在（0，2]上單調遞減，

所以a≤gmin（x）=g（2）=﹣1．

故所求實數a的取值範圍爲（﹣∞，﹣1]．

知識點：導數及其應用

題型：解答題