已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個長軸頂點爲A(2,0),離心率爲,直線y=k(x﹣1)與橢圓C交於不同的...
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問題詳情:
已知橢圓C: +=1(a>b>0)的一個長軸頂點爲A(2,0),離心率爲,直線y=k(x﹣1)與橢圓C交於不同的兩點M,N,
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)當△AMN的面積爲時,求k的值.
【回答】
【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題;橢圓的標準方程.
【分析】(Ⅰ)根據橢圓一個頂點爲A (2,0),離心率爲,可建立方程組,從而可求橢圓C的方程;
(Ⅱ)直線y=k(x﹣1)與橢圓C聯立,消元可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣4=0,從而可求|MN|,A(2,0)到直線y=k(x﹣1)的距離,利用△AMN的面積爲,可求k的值.
【解答】解:(Ⅰ)∵橢圓一個頂點爲A (2,0),離心率爲,
∴
∴b=
∴橢圓C的方程爲;
(Ⅱ)直線y=k(x﹣1)與橢圓C聯立,消元可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣4=0
設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=,
∴|MN|==
∵A(2,0)到直線y=k(x﹣1)的距離爲
∴△AMN的面積S=
∵△AMN的面積爲,
∴
∴k=±1.
【點評】本題考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關係,考查三角形面積的計算,解題的關鍵是正確求出|MN|.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題
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