已知橢圓的離心率爲，過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦長爲1．（1）求橢圓的方程；（2）設點爲橢圓上位於第一象限內一...

問題詳情：

已知橢圓的離心率爲，過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦長爲1．

（1）求橢圓的方程；

（2）設點爲橢圓上位於第一象限內一動點，分別爲橢圓的左頂點和下頂點，直線與軸交於點，直線與軸交於點，求*：四邊形的面積爲定值．

【回答】

（Ⅰ）；（2）見解析.

【分析】

(1)根據題目所給的條件得到解出參數值即可；（2）分別設出直線AM和BM求出點B，D的座標，並表示出AC，BD的長度，代入面積公式化簡即可.

【詳解】

（Ⅰ）由已知可得：解得：；

所以橢圓C的方程爲：．

（Ⅱ）因爲橢圓C的方程爲：，所以，．

設，則，即．

則直線BM的方程爲：，令，得；

同理：直線AM的方程爲：，令，得．

所以

．

即四邊形ABCD的面積爲定值2．

【點睛】

圓錐曲線中的定點、定值問題是考查的重點，一般難度較大，計算較複雜，考查較強的分析能力和計算能力.求定值問題常見的方法：（1）從特殊入手，求出定值，再*這個定值與變量無關；（2）直接推理、計算，並在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.解題時，要將問題合理的進行轉化，轉化成易於計算的方向.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題