（爲方便答題，可在答題卡上畫出你認爲必要的圖形）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊...

問題詳情：

（爲方便答題，可在答題卡上畫出你認爲必要的圖形）

在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點．若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰RtRt△AD1E1，設旋轉角爲α（0＜α≤180°），記直線BD1與CE1的交點爲P．

（1）如圖1，當α=90°時，線段BD1的長等於  ，線段CE1的長等於  ；（直接填寫結果）

（2）如圖2，當α=135°時，求*：BD1=CE1 ，且BD1⊥CE1 ；

（3）求點P到AB所在直線的距離的最大值．（直接寫出結果）

【回答】

（1）BD1=，CE1=；（2）見解析；（3）1 +

【解析】

【分析】

（1）結合圖1，根據勾股定理可求得BD1、CE1；

（2）根據旋轉變換的*質可*三角形全等，然後由直角三角形的*質可求得結論；

（3）由旋轉變換的*質可知，四邊形APD1E1爲正方形時，距離最大．

【詳解】

解：（1）解：∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點， ∴AE=AD=2， ∵等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰Rt△AD1E1，設旋轉角爲α（0＜α≤180°）， ∴當α=90°時，AE1=2，∠E1AE=90°，

;

（2）*：當α=135°時，如下圖：

由旋轉可知∠D1AB=E1AC=135°

又AB=AC，AD1=AE1，

∴△D1AB ≌ △E1AC

∴BD1=CE1且 ∠D1BA=E1CA

設直線BD1與AC交於點F，有∠BFA=∠CFP

∴∠CPF=∠FAB=90°，

∴BD1⊥CE1；

（3）解：如圖3，作PG⊥AB，交AB所在直線於點G，

∵D1，E1在以A爲圓心，AD爲半徑的圓上， 當BD1所在直線與⊙A相切時，直線BD1與CE1的交點P到直線AB的距離最大， 此時四邊形AD1PE1是正方形，PD1=2，則， 故∠ABP=30°， 則， 故點P到AB所在直線的距離的最大值爲：．

考點：旋轉變換，直角三角形，勾股定理，三角形全等，正方形的*質

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題