三棱錐A­BCD及其側視圖、俯視圖如圖1­4所示．設M，N分別爲線段AD，AB的中點，P爲線段BC上的點，且M...

問題詳情：

三棱錐A ­ BCD及其側視圖、俯視圖如圖1­4所示．設M，N分別爲線段AD，AB的中點，P爲線段BC上的點，且MN⊥NP.

(1)*：P是線段BC的中點；

(2)求二面角A ­ NP ­ M的餘弦值．

圖1­4

【回答】

解：(1)如圖所示，取BD的中點O，連接AO，CO.

由側視圖及俯視圖知，△ABD，△BCD爲正三角形，

所以AO⊥BD，OC⊥BD.

因爲AO，OC⊂平面AOC，且AO∩OC＝O，

所以BD⊥平面AOC.

又因爲AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC.

取BO的中點H，連接NH，PH.

又M，N，H分別爲線段AD，AB，BO的中點，所以MN∥BD，NH∥AO，

因爲AO⊥BD，所以NH⊥BD.

因爲MN⊥NP，所以NP⊥BD.

因爲NH，NP⊂平面NHP，且NH∩NP＝N，所以BD⊥平面NHP.

又因爲HP⊂平面NHP，所以BD⊥HP.

又OC⊥BD，HP⊂平面BCD，OC⊂平面BCD，所以HP∥OC.

因爲H爲BO的中點，所以P爲BC的中點．

(2)方法一：如圖所示，作NQ⊥AC於Q，連接MQ.

由(1)知，NP∥AC，所以NQ⊥NP.

因爲MN⊥NP，所以∠MNQ爲二面角A ­ NP ­ M的一個平面角．

由(1)知，△ABD，△BCD爲邊長爲2的正三角形，所以AO＝OC＝.

由俯視圖可知，AO⊥平面BCD.

因爲OC⊂平面BCD，所以AO⊥OC，因此在等腰直角△AOC中，AC＝.

作BR⊥AC於R

因爲在△ABC中，AB＝BC，所以R爲AC的中點，

所以BR＝＝.

因爲在平面ABC內，NQ⊥AC，BR⊥AC，

所以NQ∥BR.

又因爲N爲AB的中點，所以Q爲AR的中點，

所以NQ＝＝.

同理，可得MQ＝.

故△MNQ爲等腰三角形，

所以在等腰△MNQ中，

cos∠MNQ＝＝＝.

故二面角A ­ NP ­ M的餘弦值是.

方法二：由俯視圖及(1)可知，AO⊥平面BCD.

因爲OC，OB⊂平面BCD，所以AO⊥OC，AO⊥OB.

又OC⊥OB，所以直線OA，OB，OC兩兩垂直．

如圖所示，以O爲座標原點，以OB，OC，OA的方向爲x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角座標系O ­xyz.

則A(0，0，)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(－1，0，0)．

因爲M，N分別爲線段AD，AB的中點，

又由(1)知，P爲線段BC的中點，

所以M，N，P，於是AB＝(1，0，－)，BC＝(－1，，0)，MN＝(1，0，0)，NP＝.

設平面ABC的一個法向量n1＝(x1，y1，z1)，

由得即

從而

取z1＝1，則x1＝，y1＝1，所以n1＝(，1，1)．

設平面MNP的一個法向量n2＝(x2，y2，z2)，由，

得

即

從而

取z2＝1，則y2＝1，x2＝0，所以n2＝(0，1，1)．

設二面角A ­ NP ­ M的大小爲θ，則cos θ＝＝＝.

故二面角A­NP­M的餘弦值是.

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題