如圖，已知直線與x軸交於點A，與y軸交於點B，線段的長是方程的一個根，．請解答下列問題：（1）求點A，B的座標...

問題詳情：

如圖，已知直線與x軸交於點A，與y軸交於點B，線段的長是方程的一個根，．請解答下列問題：

（1）求點A，B的座標；

（2）直線交x軸負半軸於點E，交y軸正半軸於點F，交直線於點C．若C是的中點，，反比例函數圖象的一支經過點C，求k的值；

（3）在（2）的條件下，過點C作，垂足爲D，點M在直線上，點N在直線上．座標平面內是否存在點P，使以D，M，N，P爲頂點的四邊形是正方形？若存在，請寫出點P的個數，並直接寫出其中兩個點P的座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

（1）A（9，0），B（0，）；（2）-18；（3）存在5個，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.

【解析】

（1）解一元二次方程，得到點A的座標，再根據可得點B座標；

（2）利用待定係數法求出直線AB的表達式，根據點C是EF的中點，得到點C橫座標，代入可得點C座標，根據點C在反比例函數圖像上求出k值；

（3）畫出圖形，可得點P共有5個位置，分別求解即可.

【詳解】

解：（1）∵線段的長是方程的一個根，

解得：x=9或-2（舍），而點A在x軸正半軸，

∴A（9，0），

∵，

∴B（0，）；

（2）∵，

∴E（-6，0），

設直線AB的表達式爲y=kx+b，將A和B代入，

得：，解得：，

∴AB的表達式爲：，

∵點C是EF的中點，

∴點C的橫座標爲-3，代入AB中，y=6，

則C（-3，6），

∵反比例函數經過點C，

則k=-3×6=-18；

（3）存在點P，使以D，M，N，P爲頂點的四邊形是正方形，

如圖，共有5種情況，

在四邊形DM1P1N1中，

M1和點A重合，

∴M1（9，0），

此時P1（9，12）；

在四邊形DP3BN3中，點B和M重合，

可知M在直線y=x+3上，

聯立：，

解得：，

∴M（1，4），

∴P3（1，0），

同理可得：P2（9，-12），P4（-7，4），P5（-15，0）.

故存在點P使以D，M，N，P爲頂點的四邊形是正方形，

點P的座標爲P1（9，12），P2（9，-12），P3（1，0），P4（-7，4），P5（-15，0）.

知識點：課題學習 選擇方案

題型：解答題