在正方形ABCD中，AB＝4，E爲BC中點，連接AE，點F爲AE上一點，FE＝2，FG⊥AE交DC於G，將GF...

問題詳情：

在正方形ABCD中，AB＝4，E爲BC中點，連接AE，點F爲AE上一點，FE＝2，FG⊥AE交DC於G，將GF繞着G點逆時針旋轉使得F點正好落在AD上的點H處，過點H作HN⊥HG交AB於N點，交AE於M點，則S△MNF＝　   　．

【回答】

解：過B作BP⊥AE於P，

∵正方形ABCD中，AB＝4，E爲BC中點，

∴BE＝BC＝2，

∴AE＝＝10，

∴BP＝＝＝4，

∴PE＝＝＝2，

∴EF＝EP，

∴F與P重合，

∴B，F，G共線，

過F作OS⊥DC，交AB於O，DC於S，則OS⊥AB，

過F作FQ⊥BC於Q，

sin∠FBE＝＝，＝，

∴FQ＝，

∴BQ＝，

易得矩形OFQB，

∴FO＝BQ＝，

∴FS＝4﹣＝，AO＝AB﹣OB＝4﹣＝，

∵GF⊥AE，

∴∠AFG＝90°，

∴∠GFS+∠AFH＝∠AFH+∠FAH，

∴∠GFS＝∠FAB，

∴tan∠FAB＝tan∠GFS＝＝，

∴＝，

∴GS＝，

∴DG＝DS﹣GS＝AO﹣GS＝﹣＝2，

∵GH＝GF，

∴DH2+DG2＝GS2+FS2，

∴DH2+（2）2＝（）2+（）2，

∴DH＝4，

∴AH＝4﹣4，

tan∠ANH＝tan∠DHG＝＝，

＝，

AN＝，

過M作MR⊥AB於R，

設MR＝x，則AR＝2x，

tan∠ANH＝tan∠DHG＝＝，

∴＝，

∴RN＝，

由AR+RN＝AN得：2x+＝，

x＝6﹣2，

∴MR＝6﹣2，

∴S△MNF＝S△ANF﹣S△AMN＝AN•FO﹣AN•MR＝AN（FO﹣MR）＝××（﹣6+2）＝．

知識點：解直角三角形與其應用

題型：填空題