如圖，在平面直角座標系中，點O爲座標原點，直線y=﹣x+b與座標軸交於C，D兩點，直線AB與座標軸交於A，B兩...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，點O爲座標原點，直線y=﹣x+b與座標軸交於C，D兩點，直線AB與座標軸交於A，B兩點，線段OA，OC的長是方程x2﹣3x+2=0的兩個根（OA＞OC）．

（1）求點A，C的座標；（2）直線AB與直線CD交於點E，若點E是線段AB的中點，反比例函數y=（k≠0）的圖象的一個分支經過點E，求k的值；

（3）在（2）的條件下，點M在直線CD上，座標平面內是否存在點N，使以點B，E，M，N爲頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出滿足條件的點N的座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

解：（1）

x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）=0，

∴x1=1，x2=2，…………………………2分

∵OA＞OC，

∴OA=2，OC=1，

∴A（﹣2，0），C（1，0）．…………………………2分

（2）將C（1，0）代入y=﹣x+b中，

得：0=﹣1+b，解得：b=1，

∴直線CD的解析式爲y=﹣x+1．…………………………1分

∵點E爲線段AB的中點，A（﹣2，0），B的橫座標爲0，

∴點E的橫座標爲﹣1．

∵點E爲直線CD上一點，

∴E（﹣1，2）．…………………………1分

將點E（﹣1，2）代入y=（k≠0）中，

得：2=，解得：k=﹣2．…………………………1分

  3.假設存在，…………………………1分

（3）設點M的座標爲（m，﹣m+1），

以點B，E，M，N爲頂點的四邊形是菱形分兩種情況（如圖所示）：

①以線段BE爲邊時，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E爲線段AB的中點，

∴B（0，4），

∴BE=AB==．

∵四邊形BEMN爲菱形，

∴EM==BE=，

解得：m1=，m2=，

∴M（，2+）或（，2﹣），

∵B（0，4），E（﹣1，2），

∴N（﹣，4+）或（，4﹣）；

②以線段BE爲對角線時，MB=ME，

∴=，

解得：m3=﹣，

∴M（﹣，），

∵B（0，4），E（﹣1，2），

∴N（0﹣1+，4+2﹣），即（，）．

綜上可得：座標平面內存在點N，使以點B，E，M，N爲頂點的四邊形是菱形，點N的座標爲（﹣，4+）、（，4﹣）或（，）．

知識點：課題學習 選擇方案

題型：解答題