已知直線x-2y+2=0經過橢圓C:+=1(a>b>0)的左頂點A和上頂點D,橢圓C的右頂點爲B,...

問題詳情：

已知直線x-2y+2=0經過橢圓C:+=1(a>b>0)的左頂點A和上頂點D,橢圓C的右頂點爲B,點S是橢圓C上位於x軸上方的動點,直線AS,BS與直線l:x=分別交於M,N兩點.

(1)求橢圓C的方程;

(2)求線段MN的長度的最小值.

【回答】

解:(1)如圖,由題意得橢圓C的左頂點爲A(-2,0),上頂點爲D(0,1),

即a=2,b=1.

故橢圓C的方程爲+y2=1.

(2)直線AS的斜率顯然存在且不爲0,

設直線AS的方程爲y=k(x+2)(k>0),解得M(,),

且將直線方程代入橢圓C的方程,

得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.

設S(x1,y1),由根與係數的關係得(-2)·x1=.

由此得x1=,y1=,

即S(,).

又B(2,0),則直線BS的方程爲y=-(x-2),

聯立直線BS與l的方程解得N(,-).

∴MN=+=+≥2=.

當且僅當=,即k=時等號成立,

故當k=時,線段MN的長度的最小值爲.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題