已知函數.(1)求函數的單調區間;(2)當時,*:對任意的,.
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問題詳情:
已知函數.
(1)求函數的單調區間;
(2)當時,*:對任意的,.
【回答】
(1)函數在區間上單調遞增,在區間上單調遞減.(2)見解析
【解析】解:(1)由題意知,函數f(x)的定義域爲(0,+∞),
由已知得..............1分
當a≤0時,f'(x)>0,函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,
所以函數f(x)的單調遞增區間爲(0,+∞). 當a>0時,由f'(x)>0,得,由f'(x)<0,得,
所以函數f(x)的單調遞增區間爲,單調遞減區間爲.
綜上,當a≤0時,函數f(x)的單調遞增區間爲(0,+∞);
當a>0時,函數f(x)的單調遞增區間爲,單調遞減區間爲. ...5分
(2)*:當a=1時,不等式f(x)+ex>x2+x+2可變爲ex﹣lnx﹣2>0,
令h(x)=ex﹣lnx﹣2,則,可知函數h'(x)在(0,+∞)單調遞增,. 而,. 所以方程h'(x)=0在(0,+∞)上存在唯一實根x0,即...............................9分
當x∈(0,x0)時,h'(x)<0,函數h(x)單調遞減;
當x∈(x0,+∞)時,h'(x)>0,函數h(x)單調遞增; 所以.
即ex﹣lnx﹣2>0在(0,+∞)上恆成立,
所以對任意x>0,f(x)+ex>x2+x+2成立.
知識點:基本初等函數I
題型:解答題
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