如圖,在以點O爲中心的正方形ABCD中,AD=4,連接AC,動點E從點O出發沿O→C以每秒1個單位長度的速度勻...
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問題詳情:
如圖,在以點O爲中心的正方形ABCD中,AD=4,連接AC,動點E從點O出發沿O→C以每秒1個單位長度的速度勻速運動,到達點C停止.在運動過程中,△ADE的外接圓交AB於點F,連接DF交AC於點G,連接EF,將△EFG沿EF翻折,得到△EFH. (1)求*:△DEF是等腰直角三角形; (2)當點H恰好落在線段BC上時,求EH的長; (3)設點E運動的時間爲t秒,△EFG的面積爲S,求S關於時間t的關係式.
【回答】
(1)*:∵四邊形ABCD是正方形, ∴∠DAC=∠CAB=45°, ∴∠FDE=∠CAB,∠DFE=∠DAC, ∴∠FDE=∠DFE=45°, ∴∠DEF=90°, ∴△DEF是等腰直角三角形; (2)設OE=t,連接OD, ∴∠DOE=∠DAF=90°, ∵∠OED=∠DFA, ∴△DOE∽△DAF, ∴, ∴t, 又∵∠AEF=∠ADG,∠EAF=∠DAG, ∴△AEF∽△ADG, ∴, ∴, 又∵AE=OA+OE=2+t, ∴, ∴EG=AE-AG=, 當點H恰好落在線段BC上∠DFH=∠DFE+∠HFE=45°+45°=90°, ∴△ADF∽△BFH, ∴, ∵AF∥CD, ∴, ∴, ∴, 解得:t1=,t2=(捨去), ∴EG=EH=; (3)過點F作FK⊥AC於點K, 由(2)得EG=, ∵DE=EF,∠DEF=90°, ∴∠DEO=∠EFK, ∴△DOE≌△EKF(AAS), ∴FK=OE=t, ∴S=. 【解析】
(1)由正方形的*質可得∠DAC=∠CAB=45°,根據圓周角定理得∠FDE=∠DFE=45°,則結論得*; (2)設OE=t,連接OD,*△DOE∽△DAF可得AF=,*△AEF∽△ADG可得AG=,可表示EG的長,由AF∥CD得比例線段,求出t的值,代入EG的表達式可求EH的值; (3)由(2)知EG=,過點F作FK⊥AC於點K,根據即可求解. 本題屬於四邊形綜合題,考查了圓周角定理,相似三角形的判定和*質,等腰直角三角形的*質,三角形的面積等知識,解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題,屬於中考常考題型.
知識點:各地中考
題型:綜合題
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