已知中心在座標原點、焦點在軸上橢圓的離心率，以原點爲圓心，橢圓的短半軸長爲半徑的圓與直線相切.⑴求該橢圓的標準...

問題詳情：

已知中心在座標原點、焦點在軸上橢圓的離心率，以原點爲圓心，橢圓的短半軸長爲半徑的圓與直線相切.

⑴求該橢圓的標準方程；

⑵設橢圓的左，右焦點分別是和，直線且與軸垂直，動直線軸垂直，於點，求線段的垂直平分線與的交點的軌跡方程，並指明曲線類型.

【回答】

解： ⑴依題意設所求橢圓方程爲

得：     ①

又以原點爲圓心，橢圓的短半軸長爲半徑的圓與直線相切.

即原點到直線的距離爲，所以

代入①中得

所以，所求橢圓方程爲  .   ……6分

   ⑵由得、點的座標分別爲，，

    設點的座標爲，由題意：點座標爲，因爲線段的垂直平分線與的交點爲，

    所以 故線段的垂直平分線與的交點的軌跡方程是，

該軌跡是以爲焦點的拋物線.   ……13分               

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題