如圖,AB是⊙O的直徑,弦DE垂直平分半徑OA,C為垂足,弦DF與半徑OB相交於點P,連接EF、EO,若DE=...
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問題詳情:
如圖,AB是⊙O的直徑,弦DE垂直平分半徑OA,C為垂足,弦DF與半徑OB相交於點P,連接EF、EO,若DE=2,∠DPA=45°.
(1)求⊙O的半徑;
(2)求圖中*影部分的面積.
【回答】
(1);(2)π﹣.
【分析】
(1)根據垂徑定理得CE的長,再根據已知DE平分AO得CO=AO=OE,根據勾股定理列方程求解.
(2)先求出扇形的圓心角,再根據扇形面積和三角形的面積公式計算即可.
【詳解】
解:(1)連接OF,
∵直徑AB⊥DE,
∴CE=DE=1.
∵DE平分AO,
∴CO=AO=OE.
設CO=x,則OE=2x.
由勾股定理得:12+x2=(2x)2.
x=.
∴OE=2x=.
即⊙O的半徑為.
(2)在Rt△DCP中,
∵∠DPC=45°,
∴∠D=90°﹣45°=45°.
∴∠EOF=2∠D=90°.
∴S扇形OEF==π.
∵∠EOF=2∠D=90°,OE=OF=
SRt△OEF==.
∴S*影=S扇形OEF﹣SRt△OEF=π﹣.
【點睛】
本題考查了垂徑定理:垂直於弦的直徑平分這條弦,並且平分弦所對的兩條弧.也考查了扇形的面積公式、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關係.
知識點:圓的有關*質
題型:解答題
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