定義域為R的單調函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且f(3)=6,(1)求f(0...
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問題詳情:
定義域為R的單調函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且f(3)=6,
(1)求f(0),f(1);
(2)判斷函數f(x)的奇偶*,並*;
(3)若對於任意x∈[,3]都有f(kx2)+f(2x-1)<0成立,求實數k的取值範圍.
【回答】
解:(1)f(0)=0,f(1)=2.
(2)函數f(x)是奇函數.
*:由(1)f(0)=0,
所以f(0)=f(x)+f(-x)=0,
即f(-x)=-f(x),
所以f(x)為奇函數.
(3)因為f(x)是奇函數,且f(kx2)+f(2x-1)<0在x∈[,3]上恆成立,
所以f(kx2)<f(1-2x)在x∈[,3]上恆成立,
又因為f(x)是定義域為R的單調函數,
且f(0)=0<f(1)=2,
所以f(x)是R上的增函數.
所以kx2<1-2x在x∈[,3]上恆成立.
所以k<()2-2()在x∈[,3]上恆成立.
令g(x)=()2-2()=(-1)2-1,
由於≤x≤3,
所以≤≤2.
所以g(x)min=g(1)=-1.所以k<-1.
所以實數k的取值範圍為(-∞,-1).
知識點:*與函數的概念
題型:解答題
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