(2019·山東中考模擬)已知,正方形ABCD,∠EAF=45°,(1)如圖1,當點E,F分別在邊BC,CD上...
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問題詳情:
(2019·山東中考模擬)已知,正方形ABCD,∠EAF=45°,
(1)如圖1,當點E,F分別在邊BC,CD上,連接EF,求*:EF=BE+DF;
(2)如圖2,點M,N分別在邊AB,CD上,且BN=DM,當點E,F分別在BM,DN上,連接EF,請探究線段EF,BE,DF之間滿足的數量關係,並加以*;
(3)如圖3,當點E,F分別在對角線BD,邊CD上,若FC=2,則BE的長為 .
【回答】
(1)見解析;(2)EF2=BE2+DF2 ;理由見解析;(3)
【解析】
(1)*:如圖1中,將△ADF繞點A順時針旋轉90°,得△ABG,
∴△ADF≌△ABG,
∴AF=AG,DF=BG,∠DAF=∠BAG,
∵正方形ABCD,
∴∠D=∠BAD=∠ABE=90°,AB=AD,
∴∠ABG=∠D=90°,即G、B、C在同一直線上,
∵∠EAF=45°,
∴∠DAF+∠BAE=90°﹣45°=45°,
∴∠EAG=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°,
即∠EAG=∠EAF,
∴△EAG≌△EAF(SAS),
∴EG=EF,
∵BE+DF=BE+BG=EG,
∴EF=BE+DF.
(2)結論:EF2=BE2+DF2,
理由:將△ADF繞點A順時針旋轉90°,得△ABH,(如圖2)
∴△ADF≌△ABH,
∴AF=AH,DF=BH,∠DAF=∠BAH,∠ADF=∠ABH,
∵∠EAF=45°,
∴∠DAF+∠BAE=90°﹣45°=45°,
∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°,
即∠EAH=∠EAF,
∴△EAH≌△EAF(SAS),
∴EH=EF,
∵BN=DM,BN∥DM,
∴四邊形BMDN是平行四邊形,
∴∠ABE=∠MDN,
∴∠EBH=∠ABH+∠ABE=∠ADF+∠MDN=∠ADM=90°,
∴EH2=BE2+BH2,
∴EF2=BE2+DF2,
(3)作△ADF的外接圓⊙O,連接EF、EC,過點E分別作EM⊥CD於M,EN⊥BC於N(如圖3).
∵∠ADF=90°,
∴AF為⊙O直徑,
∵BD為正方形ABCD對角線,
∴∠EDF=∠EAF=45°,
∴點E在⊙O上,
∴∠AEF=90°,
∴△AEF為等腰直角三角形,
∴AE=EF,
∴△ABE≌△CBE(SAS),
∴AE=CE,
∴CE=EF,
∵EM⊥CF,CF=2,
∴CM= CF=1,
∵EN⊥BC,∠NCM=90°,
∴四邊形CMEN是矩形
∴EN=CM=1,
∵∠EBN=45°,
∴BE=EN= .
故*為
【點睛】
本題考查了正方形的*質,旋轉,全等三角形的判定和*質,平行四邊形的判定和*質,勾股定理,圓周角定理,等腰三角形*質,其中(1)(2)裏運用轉化思想是解題關鍵,為半角模型的常規題型.第(3)問作為填空題可用特殊位置得到*,*過程關鍵條件是正方形對角線,利用兩個45°角聯想到四點共圓,再利用圓周角定理得到△AEF為等腰直角三角形.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題
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