有兩張完全重合的矩形紙片,將其中一張繞點A順時針旋轉90°後得到矩形AMEF(如圖1),連接BD,MF,若BD...
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問題詳情:
有兩張完全重合的矩形紙片,將其中一張繞點A順時針旋轉90°後得到矩形AMEF(如圖1),連接BD,MF,若BD=16cm,∠ADB=30°.
(1)試探究線段BD 與線段MF的數量關係和位置關係,並説明理由;
(2)把△BCD 與△MEF 剪去,將△ABD繞點A順時針旋轉得△AB1D1,邊AD1交FM 於點K(如圖2),設旋轉角為β(0°<β<90°),當△AFK 為等腰三角形時,求β的度數;
(3)若將△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2(如圖3),F2M2與AD交於點P,A2M2與BD交於點N,當NP∥AB時,求平移的距離.
【回答】
【分析】(1)有兩張完全重合的矩形紙片,將其中一張繞點A順時針旋轉90°後得到矩形AMEF(如圖1),得BD=MF,△BAD≌△MAF,推出BD=MF,∠ADB=∠AFM=30°,進而可得∠DNM的大小.
(2)分兩種情形討論①當AK=FK時,②當AF=FK時,根據旋轉的*質得出結論.
(3)求平移的距離是A2A的長度.在矩形PNA2A中,A2A=PN,只要求出PN的長度就行.用△DPN∽△DAB得出對應線段成比例,即可得到A2A的大小.
【解答】解:(1)結論:BD=MF,BD⊥MF.理由:
如圖1,延長FM交BD於點N,
由題意得:△BAD≌△MAF.
∴BD=MF,∠ADB=∠AFM.
又∵∠DMN=∠AMF,
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°,
∴∠DNM=90°,
∴BD⊥MF.
(2)如圖2,
①當AK=FK時,∠KAF=∠F=30°,
則∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°,
即β=60°;
②當AF=FK時,∠FAK=(180°﹣∠F)=75°,
∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°,
即β=15°;
綜上所述,β的度數為60°或15°;
(3)如圖3,
由題意得矩形PNA2A.設A2A=x,則PN=x,
在Rt△A2M2F2中,∵F2M2=FM=16,∠F=∠ADB=30°,
∴A2M2=8,A2F2=8,
∴AF2=8﹣x.
∵∠PAF2=90°,∠PF2A=30°,
∴AP=AF2•tan30°=8﹣x,
∴PD=AD﹣AP=8﹣8+x.
∵NP∥AB,
∴∠DNP=∠B.
∵∠D=∠D,
∴△DPN∽△DAB,
∴=,
∴=,
解得x=12﹣4,即A2A=12﹣4,
∴平移的距離是(12﹣4)cm.
【點評】本題屬於四邊形綜合題,主要考查了旋轉的*質,相似三角形的判定與*質,勾股定理的運用,等腰三角形的*質的運用運用.在利用相似三角形的*質時注意使用相等線段的代換以及注意分類思想的運用.
知識點:解直角三角形與其應用
題型:綜合題
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