為迎接第十四屆*雙黃鴨蛋節，組委會設計了鴨蛋型圖徽.圖徽外框由半圓和半橢圓組成（如圖），半圓的直徑為10，橢...

問題詳情：

為迎接第十四屆*雙黃鴨蛋節，組委會設計了鴨蛋型圖徽.圖徽外框由半圓和半橢圓組成（如圖），半圓的直徑為10，橢圓的離心率為，且短軸與半圓的直徑重合，圖徽內有一矩形區域用於繪畫圖案，矩形關於橢圓的長軸對稱，且頂點在圖徽外框上．

（Ⅰ）建立適當的直角座標系，求出半圓的方程和半橢圓的方程；

（Ⅱ）根據美學知識，當時達到最佳美觀的效果，求達到最佳美觀的效果時的長．

【回答】

解：（Ⅰ）以半圓的直徑為x軸，圓心為座標原點,建立平面直角座標系,則半圓的方程為（），…………4分

橢圓的短半軸，所以

所以半橢圓方程為  （）…………8分

（Ⅱ）當的四個頂點均在邊界上時，面積最大，設第一象限內的點的橫座標為，則，，

……10分

由得，…………12分

解得，

此時…………14分

答：達到最佳美觀的效果時為…………16分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題