如圖在四稜錐中,底面是邊長為的正方形,側面底面,且,設、分別為、的中點.(Ⅰ)求*://平面;(Ⅱ)求*:面平...
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問題詳情:
如圖在四稜錐中,底面是邊長為的正方形,側面底面,且,設、分別為、的中點.
(Ⅰ) 求*: //平面;
(Ⅱ) 求*:面平面;
(Ⅲ) 求二面角的正切值.
【回答】
法一:(Ⅰ)*:為平行四邊形
連結,為中點,
為中點∴在中//
且平面,平面 ∴
(Ⅱ)*:因為面面 平面面
為正方形,,平面
所以平面 ∴
又,所以是等腰直角三角形,
且 即
,且、面
面
又面 面面
(Ⅲ) 【解】:設的中點為,連結,,
則由(Ⅱ)知面,
,面,,
是二面角的平面角
中,
故所求二面角的正切值為
法二:如圖,取的中點, 連結,.
∵, ∴.
∵側面底面,
,
∴,
而分別為的中點,∴,
又是正方形,故.
∵,∴,.
以為原點,直線為軸建立空間直線座標系,
則有,,,,,.
∵為的中點, ∴
(Ⅰ)*:易知平面的法向量為而,
且, ∴ //平面
(Ⅱ)*:∵, ∴,
∴,從而,又,,
∴,而,
∴平面平面
(Ⅲ) 【解】:由(Ⅱ)知平面的法向量為.
設平面的法向量為.∵,
∴由可得,令,則,
故∴,
即二面角的餘弦值為,
所以二面角的正切值為
知識點:平面向量
題型:綜合題
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