(1)觀察猜想:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D在邊BC上,連接AD,把△ABD繞點A逆時...
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問題詳情:
(1)觀察猜想:
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D在邊BC上,連接AD,把△ABD繞點A逆時針旋轉90°,點D落在點E處,如圖①所示,則線段CE和線段BD的數量關係是 ,位置關係是 .
(2)探究*:
在(1)的條件下,若點D在線段BC的延長線上,請判斷(1)中結論是還成立嗎?請在圖②中畫出圖形,並*你的判斷.
(3)拓展延伸:
如圖③,∠BAC≠90°,若AB≠AC,∠ACB=45°,AC=,其他條件不變,過點D作DF⊥AD交CE於點F,請直接寫出線段CF長度的最大值.
【回答】
【解答】解:(1)①∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE,
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE,
∴CE=BD,∠ACE=∠B,
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,
∴BD⊥CE;
故*為:CE=BD,CE⊥BD.
(2)(1)中的結論仍然成立.理由如下:
如圖,∵線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE,
∴AE=AD,∠DAE=90°,
∵AB=AC,∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD,
∴△ACE≌△ABD,
∴CE=BD,∠ACE=∠B,
∴∠BCE=90°,即CE⊥BD,
∴線段CE,BD之間的位置關係和數量關係分別為:CE=BD,CE⊥BD.
(3)如圖3,過A作AM⊥BC於M,EN⊥AM於N,
∵線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE
∴∠DAE=90°,AD=AE,
∴∠NAE=∠ADM,
易*得Rt△AMD≌Rt△ENA,
∴NE=AM,
∵∠ACB=45°,
∴△AMC為等腰直角三角形,
∴AM=MC,
∴MC=NE,
∵AM⊥BC,EN⊥AM,
∴NE∥MC,
∴四邊形MCEN為平行四邊形,
∵∠AMC=90°,
∴四邊形MCEN為矩形,
∴∠DCF=90°,
∴Rt△AMD∽Rt△DCF,
∴=,
設DC=x,
∵∠ACB=45°,AC=,
∴AM=CM=1,MD=1﹣x,
∴=,
∴CF=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+,
∴當x=時有最大值,CF最大值為.
知識點:相似三角形
題型:解答題
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