如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,動點E以每秒1個單位長度的速度從點A開始沿邊AB向點B運動,動點F以每秒2...
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問題詳情:
如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,動點E以每秒1個單位長度的速度從點A開始沿邊AB向點B運動,動點F以每秒2個單位長度的速度從點B開始沿折線BC﹣CD向點D運動,動點E比動點F先出發1秒,其中一個動點到達終點時,另一個動點也隨之停止運動,設點F的運動時間為t秒.
(1)點F在邊BC上.
①如圖1,連接DE,AF,若DE⊥AF,求t的值;
②如圖2,連結EF,DF,當t為何值時,△EBF與△DCF相似?
(2)如圖3,若點G是邊AD的中點,BG,EF相交於點O,試探究:是否存在在某一時刻t,使得?若存在,求出t的值;若不存在,請説明理由.
【回答】
(1) ①t=1;②.(2),.
【解析】
試題分析:(1)①利用正方形的*質及條件,得出△ABF≌△DAE,由AE=BF列式計算.
②利用△EBF∽△DCF,得出,列出方程求解.
(2)①0<t≤2時如圖3,以點B為原點BC為x軸,BA為y軸建立座標系,先求出EF所在的直線和BG所在的直線函數關係式是,再利用勾股定理求出BG,運用,求出點O的座標把O的座標代入EF所在的直線函數關係式求解.②當t>2時如圖4,以點B為原點BC為x軸,BA為y軸建立座標系,以點B為原點BC為x軸,BA為y軸建立座標系,先求出EF所在的直線和BG所在的直線函數關係式是,再利用勾股定理求出BG,運用,求出點O的座標把O的座標代入EF所在的直線函數關係式求解.
試題解析:(1)①如圖1
∵DE⊥AF,
∴∠AOE=90°,
∴∠BAF+∠AEO=90°,
∵∠ADE+∠AEO=90°,
∴∠BAE=∠ADE,
又∵四邊形ABCD是正方形,
∴AE=AD,∠ABF=∠DAE=90°,
在△ABF和△DAE中,
∴△ABF≌△DAE(ASA)
∴AE=BF,
∴1+t=2t,
解得t=1.
②如圖2
∵△EBF∽△DCF
∴,
∵BF=2t,AE=1+t,
∴FC=4﹣2t,BE=4﹣1﹣t=3﹣t,
∴,
解得:,(捨去),
故.
(2)①0<t≤2時如圖3,以點B為原點BC為x軸,BA為y軸建立座標系,
A的座標(0,4),G的座標(2,4),F點的座標(2t,0),E的座標(0,3﹣t)
EF所在的直線函數關係式是:y=x+3﹣t,
BG所在的直線函數關係式是:y=2x,
∵
∵,
∴BO=,OG=,
設O的座標為(a,b),
解得
∴O的座標為(,)
把O的座標為(,)代入y=x+3﹣t,得
=×+3﹣t,
解得,t=(捨去),t=,
②當3≥t>2時如圖4,以點B為原點BC為x軸,BA為y軸建立座標系,
A的座標(0,4),G的座標(2,4),F點的座標(4,2t﹣4),E的座標(0,3﹣t)
EF所在的直線函數關係式是:y=x+3﹣t,
BG所在的直線函數關係式是:y=2x,
∵BG==2
∵,
∴BO=,OG=,
設O的座標為(a,b),
解得
∴O的座標為(,)
把O的座標為(,)代入y=x+3﹣t,得
=×+3﹣t,
解得:t=.
綜上所述,存在t=或t=,使得.
【考點】四邊形綜合題.
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題
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