已知，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，點P是AB延長線上一點，連接CP．（1）如圖1，若∠PCB＝∠A．①求*...

問題詳情：

已知，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，點P是AB延長線上一點，連接CP．

（1）如圖1，若∠PCB＝∠A．

①求*：直線PC是⊙O的切線；

②若CP＝CA，OA＝2，求CP的長；

（2）如圖2，若點M是弧AB的中點，CM交AB於點N，MN•MC＝9，求BM的值．

【回答】

【解析】（1）①欲*PC是⊙O的切線，只要*OC⊥PC即可；

②想辦法*∠P＝30°即可解決問題；

（2）如圖2中，連接MA．由△AMC∽△NMA，可得，由此即可解決問題；

解：①*如下：如圖1中，

∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠PCB＝∠A，∴∠ACO＝∠PCB，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線．

②∵CP＝CA，∴∠P＝∠A，∴∠COB＝2∠A＝2∠P，

∵∠OCP＝90°，∴∠P＝30°，∵OC＝OA＝2，∴OP＝2OC＝4，∴．

（2）解：如圖2中，連接MA．

∵點M是弧AB的中點，∴＝，∴∠ACM＝∠BAM，

∵∠AMC＝∠AMN，∴△AMC∽△NMA，∴，∴AM2＝MC•MN，

∵MC•MN＝9，∴AM＝3，∴BM＝AM＝3．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：綜合題