已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上單調遞增，在（﹣1，2）上單調遞減，...

問題詳情：

已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上單調遞增，在（﹣1，2）上單調遞減，若且唯若x＞4時．f（x）＞x2﹣4x+5=g（x）．

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）若函數y=m與函數f（x），g（x）的圖象共有3個交點，求實數m的取值範圍．

【回答】

解答： 解：（1）因為函數在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上單調遞增，在（﹣1，2）上單調遞減，所以﹣1，2是函數的兩個極值點，即﹣1，2是f'（x）=0的兩個根，

因為f'（x）=3x2+2ax+b，所以由根與係數之間的關係得．

所以．

令，則H'（x）=3x2﹣5x﹣2=（3x+1）（x﹣2），

所以函數H（x）在（﹣∞，），（2，+∞）上為增函數，在（）上為減函數，故，解得c=﹣11．

所以此時．

（2）因為，則，

故當﹣21＜m＜﹣時，直線y=m與函數f（x）的圖象有3個交點，與g（x）的圖象沒有交點．

又g（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1≥1，故當m＞1時，直線y=m與g（x）的圖象有2個交點，與f（x）的圖象有1個交點，

又f（4）=g（4）=5，故當1＜m＜5或m＞5時，直線y=m與函數f（x），g（x）的圖象共有3個交點，

故實數m的取值範圍．

知識點：函數的應用

題型：解答題