如圖，在平面直角座標系xOy第一象限中有正方形OABC，A（4，0），點P（m，0）是x軸上一動點（0＜m＜4...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系xOy第一象限中有正方形OABC，A（4，0），點P（m，0）是x軸上一動點（0＜m＜4），將△ABP沿直線BP翻折後，點A落在點E處，在OC上有一點M（0，t），使得將△OMP沿直線MP翻折後，點O落在直線PE上的點F處，直線PE交OC於點N，連接BN．

（I）求*：BP⊥PM；

（II）求t與m的函數關係式，並求出t的最大值；

（III）當△ABP≌△CBN時，直接寫出m的值．

【回答】

【解析】解：（Ⅰ）由摺疊知，∠APB＝∠NPB，∠OPM＝∠NPM，

∵∠APN+∠OPN＝180°，∴2∠NPB+2∠NPM＝180°，

∴∠NPB+∠NPM＝90°，∴∠BPM＝90°，∴BP⊥PM；

（Ⅱ）∵四邊形OABC是正方形，∴∠OAB＝90°，AB＝OA，

∵A（4，0），∴AB＝OA＝4，∵點P（m，0），∴OP＝m，

∵0＜m＜4，∴AP＝OA﹣OP＝4﹣m，∵M（0，t），∴OM＝t，

由（1）知，∠BPM＝90°，∴∠APB+∠OPM＝90°，

∵∠OMP+∠OPM＝90°，∴∠OMP＝∠APB，

∵∠MOP＝∠PAB＝90°，∴△MOP∽△PAB，∴，∴，

∴t＝﹣m（m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+1

∵0＜m＜4，∴當m＝2時，t的最大值為1；

（Ⅲ）∵△ABP≌△CBN，∴∠CBN＝∠ABP，BP＝BN，

由摺疊知，∠ABP＝∠EBP，∠BEP＝∠BAP＝90°，

∴NE＝PE，∠NBE＝∠PBE，∴∠CBN＝∠NBE＝∠EBP＝∠PBA，

∴∠CBE＝∠ABE＝45°，

連接OB，∵四邊形OABC是正方形，∴∠OBC＝∠OBA＝45°，

∴點E在OB上，∴OP＝ON＝m，∴PN＝m，

∵OM＝t，∴MN＝ON＝OM＝m﹣t，

如圖，過點N作OP的平行線交PM的延長線於G，

∴∠OPM＝∠G，

由摺疊知，∠OPM＝∠NPM，∴∠NPM＝∠G，∴NG＝PN＝m，

∵GN∥OP，∴△OMP∽△NMG，∴，∴＝①，

由（2）知，t＝﹣m（m﹣4）②，

聯立①②解得，m＝0（舍）或m＝8﹣．

知識點：相似三角形

題型：綜合題