如圖*,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm.如果點P由點B出發沿BA方向向點A勻速運動...
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問題詳情:
如圖*,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm.如果點P由點B出發沿BA方向向點A勻速運動,同時點Q由點A出發沿AC方向向點C勻速運動,它們的速度均為1cm/s.連接PQ,設運動時間為t(s)(0<t<4),解答下列問題:
(1)設△APQ的面積為S,當t為何值時,S取得最大值?S的最大值是多少?
(2)如圖乙,連接PC,將△PQC沿QC翻折,得到四邊形PQP′C,當四邊形PQP′C為菱形時,求t的值;′
(3)當t為何值時,△APQ是等腰三角形?
【回答】
【考點】相似形綜合題.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)過點P作PH⊥AC於H,由△APH∽△ABC,得出=,從而求出AB,再根據=,得出PH=3﹣t,則△AQP的面積為: AQ•PH=t(3﹣t),最後進行整理即可得出*;
(2)連接PP′交QC於E,當四邊形PQP′C為菱形時,得出△APE∽△ABC, =,求出AE=﹣t+4,再根據QE=AE﹣AQ,QE=QC得出﹣t+4=﹣t+2,再求t即可;
(3)由(1)知,PE=﹣t+3,與(2)同理得:QE=﹣t+4,從而求出PQ=,
在△APQ中,分三種情況討論:①當AQ=AP,即t=5﹣t,②當PQ=AQ,即=t,③當PQ=AP,即=5﹣t,再分別計算即可.
【解答】解:(1)如圖*,過點P作PH⊥AC於H,
∵∠C=90°,
∴AC⊥BC,
∴PH∥BC,
∴△APH∽△ABC,
∴=,
∵AC=4cm,BC=3cm,
∴AB=5cm,
∴=,
∴PH=3﹣t,
∴△AQP的面積為:
S=×AQ×PH=×t×(3﹣t)=﹣(t﹣)2+,
∴當t為秒時,S最大值為cm2.
(2)如圖乙,連接PP′,PP′交QC於E,
當四邊形PQP′C為菱形時,PE垂直平分QC,即PE⊥AC,QE=EC,
∴△APE∽△ABC,
∴=,
∴AE===﹣t+4
QE=AE﹣AQ═﹣t+4﹣t=﹣t+4,
QE=QC=(4﹣t)=﹣t+2,
∴﹣t+4=﹣t+2,
解得:t=,
∵0<<4,
∴當四邊形PQP′C為菱形時,t的值是s;
(3)由(1)知,
PE=﹣t+3,與(2)同理得:QE=AE﹣AQ=﹣t+4
∴PQ===,
在△APQ中,
①當AQ=AP,即t=5﹣t時,解得:t1=;
②當PQ=AQ,即=t時,解得:t2=,t3=5;
③當PQ=AP,即=5﹣t時,解得:t4=0,t5=;
∵0<t<4,
∴t3=5,t4=0不合題意,捨去,
∴當t為s或s或s時,△APQ是等腰三角形.
【點評】此題主要考查了相似形綜合,用到的知識點是相似三角形的判定與*質、勾股定理、三角形的面積公式以及二次函數的最值問題,關鍵是根據題意做出輔助線,利用數形結合思想進行解答.
知識點:相似三角形
題型:解答題
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