已知正方形ABCD，點M邊AB的中點．（1）如圖1，點G為線段CM上的一點，且∠AGB=90°，延長AG、BG...

問題詳情：

已知正方形ABCD，點M邊AB的中點．

（1）如圖1，點G為線段CM上的一點，且∠AGB=90°，延長AG、BG分別與邊BC、CD交於點E、F．

①求*：BE=CF；

②求*：BE2=BC•CE．

（2）如圖2，在邊BC上取一點E，滿足BE2=BC•CE，連接AE交CM於點G，連接BG並延長CD於點F，求tan∠CBF的值．

【回答】

【考點】SO：相似形綜合題．.

【分析】（1）①由正方形的*質知AB=BC、∠ABC=∠BCF=90°、∠ABG+∠CBF=90°，結合∠ABG+∠BAG=90°可得∠BAG=∠CBF，*△ABE≌△BCF可得；

②由RtABG斜邊AB中線知MG=MA=MB，即∠GAM=∠AGM，結合∠CGE=∠AGM、∠GAM=∠CBG知∠CGE=∠CBG，從而*△CGE∽△CBG得CG2=BC•CE，由BE=CF=CG可得*；

（2）延長AE、DC交於點N，*△CEN∽△BEA得BE•CN=AB•CE，由AB=BC、BE2=BC•CE知CN=BE，再由==且AM=MB得FC=CN=BE，設正方形的邊長為1、BE=x，根據BE2=BC•CE求得BE的長，最後由tan∠CBF==可得*．

【解答】解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，

∴∠ABG+∠CBF=90°，

∵∠AGB=90°，

∴∠ABG+∠BAG=90°，

∴∠BAG=∠CBF，

∵AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，

∴△ABE≌△BCF，

∴BE=CF，

②∵∠AGB=90°，點M為AB的中點，

∴MG=MA=MB，

∴∠GAM=∠AGM，

又∵∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG，

∴∠CGE=∠CBG，

又∠ECG=∠GCB，

∴△CGE∽△CBG，

∴=，即CG2=BC•CE，

由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG，

由①知BE=CF，

∴BE=CG，

∴BE2=BC•CE；

（2）延長AE、DC交於點N，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠N=∠EAB，

又∵∠CEN=∠BEA，

∴△CEN∽△BEA，

∴=，即BE•CN=AB•CE，

∵AB=BC，BE2=BC•CE，

∴CN=BE，

∵AB∥DN，

∴==，

∵AM=MB，

∴FC=CN=BE，

不妨設正方形的邊長為1，BE=x，

由BE2=BC•CE可得x2=1•（1﹣x），

解得：x1=，x2=（舍），

∴=，

則tan∠CBF===．

【點評】本題主要考查相似形的綜合問題，熟練掌握正方形與直角三角形的*質、全等三角形的判定與*質、相似三角形的判定與*質是解題的關鍵．

知識點：各地中考

題型：綜合題