設f(x)=x3+mx2+nx.(1)如果g(x)=f′(x)-2x-3在x=-2處取得最小值-5,求f(x)...
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問題詳情:
設f(x)=x3+mx2+nx.
(1)如果g(x)=f′(x)-2x-3在x=-2處取得最小值-5,求f(x)的解析式;
(2)如果m+n<10(m,n∈N*),f(x)的單調遞減區間的長度是正整數,試求m和n的值.(注:區間(a,b)的長度為b-a).
【回答】
解析 (1)由題得g(x)=x2+2(m-1)x+(n-3)=(x+m-1)2+(n-3)-(m-1)2,已知g(x)在x=-2處取得最小值-5,
所以即m=3,n=2.
即得所要求的解析式為f(x)=x3+3x2+2x.
(2)因為f′(x)=x2+2mx+n,且f(x)的單調遞減區間的長度為正整數,故f′(x)=0一定有兩個不同的根,
從而Δ=4m2-4n>0,即m2>n.
不妨設為x1,x2,則|x2-x1|=2為正整數.
故m≥2時才可能有符合條件的m,n,
當m=2時,只有n=3符合要求,
當m=3時,只有n=5符合要求,
當m≥4時,沒有符合要求的n.
綜上所述,只有m=2,n=3或m=3,n=5滿足上述要求.
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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