已知四邊形ABCD中,P是對角線BD上的一點,過P作MN∥AD,EF∥CD,分別交AB、CD、AD、BC於點M...
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問題詳情:
已知四邊形ABCD中,P是對角線BD上的一點,過P作MN∥AD,EF∥CD,分別交AB、CD、AD、BC於點M、N、E、F,設=PM・PE,=PN・PF,解答下列問題:
(1)當四邊形ABCD是矩形時,見圖1,請判斷與的大小關係,並説明理由;
(2)當四邊形ABCD是平行四邊形,且∠A為鋭角時,見圖2,(1)中的結論是否成立?並説明理由;
(3)在(2)的條件下,設,是否存在這樣的實數,使得?若存在,請求出滿足條件的所有的值;若不存在,請説明理由。
【回答】
解:(1) ∵ABCD是矩形,MN∥AD,EF∥CD
∴四邊形PEAM、PNCF也均為矩形
∴=PM・PE=,=PN・PF=
又∵BD是對角線
∴△PMB≌△BFP,△PDE≌△DPN,△DBA≌△DBC
∵,
∴=
∴
(2)成立,理由如下:
∵ABCD是平行四邊形,MN∥AD,EF∥CD
∴四邊形PEAM、PNCF也均為平行四邊形
仿(1)可*
過E作EH⊥MN於點H,則;
∴
同理可得
又∵∠MPE=∠FPN=∠A
∴
∴PM・PE=PN・PF,即
(3)方法1:存在,理由如下:
由(2)可知,
∴
又∵,即,
而,
∴
即
∴,
故存在實數或,使得
方法2:存在,理由如下:
連結AP,設△PMB、△PMA、△PEA、△PED的面積分別為、、、,
即,
即 ∴
∴
即
∴
∴,
故存在實數或,使得
知識點:平行四邊形
題型:計算題
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