拋物線y=﹣x2+x﹣1與x軸交於點A，B（點A在點B的左側），與y軸交於點C，其頂點為D．將拋物線位於直線l...

問題詳情：

拋物線y=﹣x2+x﹣1與x軸交於點A，B（點A在點B的左側），與y軸交於點C，其頂點為D．將拋物線位於直線l：y=t（t＜）上方的部分沿直線l向下翻折，拋物線剩餘部分與翻折後所得圖形組成一個“M”形的新圖象．

（1）點A，B，D的座標分別為　　，　　，　　；

（2）如圖①，拋物線翻折後，點D落在點E處．當點E在△ABC內（含邊界）時，求t的取值範圍；

（3）如圖②，當t=0時，若Q是“M”形新圖象上一動點，是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切於點P？若存在，求出點P的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

【解答】解：（1）當y=0時，有﹣x2+x﹣1=0，

解得：x1=，x2=3，

∴點A的座標為（，0），點B的座標為（3，0）．

∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+，

∴點D的座標為（，）．

故*為：（，0）；（3，0）；（，）．

（2）∵點E、點D關於直線y=t對稱，

∴點E的座標為（，2t﹣）．

當x=0時，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，

∴點C的座標為（0，﹣1）．

設線段BC所在直線的解析式為y=kx+b，

將B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，

，解得：，

∴線段BC所在直線的解析式為y=x﹣1．

∵點E在△ABC內（含邊界），

∴，

解得：≤t≤．

（3）當x＜或x＞3時，y=﹣x2+x﹣1；

當≤x≤3時，y=x2﹣x+1．

假設存在，設點P的座標為（m，0），則點Q的橫座標為m．

①當m＜或m＞3時，點Q的座標為（m，﹣x2+x﹣1）（如圖1），

∵以CQ為直徑的圓與x軸相切於點P，

∴CP⊥PQ，

∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，

整理，得：m1=，m2=，

∴點P的座標為（，0）或（，0）；

②當≤m≤3時，點Q的座標為（m，x2﹣x+1）（如圖2），

∵以CQ為直徑的圓與x軸相切於點P，

∴CP⊥PQ，

∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，

整理，得：11m2﹣28m+12=0，

解得：m3=，m4=2，

∴點P的座標為（，0）或（1，0）．

綜上所述：存在以CQ為直徑的圓與x軸相切於點P，點P的座標為（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．

知識點：各地中考

題型：綜合題