如圖,已知圓的方程為,圓的方程為,若動圓與圓內切與圓外切.求動圓圓心的軌跡的方程;過直線上的點作圓的兩條切線,...
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問題詳情:
如圖,已知圓的方程為,圓的方程為,若動圓與圓內切與圓外切.
求動圓圓心的軌跡的方程;
過直線上的點作圓的兩條切線,設切點分別是,若直線與軌跡交於兩點,求的最小值.
【回答】
(1)(2)
【分析】
(Ⅰ)設動圓的半徑為,由題動圓與圓內切,與圓外切,則
,由此即可得到動圓圓心的軌跡是以為焦點,長軸長為的橢圓,進而得到動圓圓心的軌跡的方程;
(Ⅱ)設直線上任意一點的座標是,切點座標分別是,
;則經過點的切線斜方程是,同理經過點的切線方程是,又兩條切線,相交於.可得經過兩點的直線的方程是,對分類討論分別求出的值,即可得到的最小值.
【詳解】
(Ⅰ)設動圓的半徑為,∵動圓與圓內切,與圓外切,
∴,且.於是,,
所以動圓圓心的軌跡是以為焦點,長軸長為的橢圓.從而,,
所以.故動圓圓心的軌跡的方程為.
(Ⅱ)設直線上任意一點的座標是,切點座標分別是,
;則經過點的切線斜率,方程是,
經過點的切線方程是,又兩條切線,相交於.
則有,所以經過兩點的直線的方程是,
①當時,有,,,,則;
②當時,聯立,整理得;
設座標分別為,,則,
所以,
綜上所述,當時,有最小值.
【點睛】
本題考查點的軌跡的求法,考查直線與圓、橢圓的位置關係,屬中檔題.
知識點:圓與方程
題型:解答題
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