已知双曲线Γ1:与圆Γ2:x2+y2=4+b2(b>0)交于点A(xA,yA)(第一象限),曲线Γ为Γ1、Γ2...
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已知双曲线Γ1:与圆Γ2:x2+y2=4+b2(b>0)交于点A(xA,yA)(第一象限),曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x>|xA|的部分.
(1)若xA=,求b的值;
(2)当b=,Γ2与x轴交点记作点F1、F2,P是曲线Γ上一点,且在第一象限,且|PF1|=8,求∠F1PF2;
(3)过点D(0,)斜率为-的直线l与曲线Γ只有两个交点,记为M、N,用b表示,并求的取值范围.
【回答】
(1)2 (2)arccos (3)(6+2,+∞)
【解析】解:(1)由xA=,点A为曲线Γ1与曲线Γ2的交点,联立,解得yA=,b=2;
(2)由题意可得F1,F2为曲线Γ1的两个焦点,
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=8,2a=4,
所以|PF2|=8-4=4,因为b=,则c==3,
所以|F1F2|=6,
在△PF1F2中,由余弦定理可得cos∠F1PF2==
由0<∠F1PF2<π,可得∠F1PF2=arccos;
(3)设直线l:,可得原点O到直线l的距离d=,所以直线l是圆的切线,设切点为M,
所以kOM=,并设OM:y=x与圆x2+y2=4+b2联立,可得x2+=4+b2,
可得x=b,y=2,即M(b,2),
注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行,
所以只有当yA>2时,直线l才能与曲线Γ有两个交点,
由,
所以有4<,解得b2>2+2或b2<2-2(舍去),
因为为在上的投影可得,=4+b2,
所以=4+b2>6+2,
则∈(6+2,+∞).
【考点】平面向量数量积的*质及其运算;直线与双曲线的综合.
【专题】方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、*质与方程;数学运算.
【分析】(1)联立曲线Γ1与曲线Γ2的方程,以及xA=,解方程可得b;
(2)由双曲线的定义和三角形的余弦定理,计算可得所求角;
(3)设直线l:,求得O到直线l的距离,判断直线l与圆的关系:相切,可设切点为M,考虑双曲线的渐近线方程,只有当yA>2时,直线l才能与曲线Γ有两个交点,解不等式可得b的范围,由向量投影的定义求得,进而得到所求范围.
【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、*质,考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立,以及向量的数量积的几何意义,考查方程思想和化简运算能力,属于中档题.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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