如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连接BC，点P为抛物...

问题详情：

如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连接BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；

（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连接PC，PB，△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）由题意得，解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4．

（2）如图1所示：

由题意可知：C点坐标为（0，4），

∴△BOC为等腰直角三角形，且∠BOC为直角．

∵以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似

∴△PCF为等腰直角三角形，又CF⊥直线l，∴PF=CF．

设P（t，﹣t2+3t+4）（t＞0），则CF=t，

PF=|（﹣t2+3t+4）﹣4|=|t2﹣3t|．

∴t=|t2﹣3t|，∴t2﹣3t=±t，解得t=0（舍去），t=2或t=0（舍去），t=4．

∴点P的坐标为 （2，6）或（4，0）．

（3）如图2所示：连接EC．

设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE=a，PE=﹣a2+3a+4，EB=4﹣a．

∵C（0，4），B（4，0），

∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．

∵S四边形PCEB=OB•PE=×4（﹣a2+3a+4），S△CEB=EB•OC=×4×（4﹣a），

∴S△PBC=S四边形PCEB﹣S△CEB=2（﹣a2+3a+4）﹣2（4﹣a）=﹣2a2+8a．

∵a=﹣2＜0，

∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值．

∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题