如图①，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线BE交y轴正半轴于点E...

问题详情：

如图①，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线BE交y轴正半轴于点E．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式及顶点D的坐标；

（2）连接BD、CD，设∠DBO=α，∠EBO=β，若tan （α﹣β）=1，求点E的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，动点M从点C出发以每秒个单位的速度在直线BC上移动（不考虑点M与点C、B重合的情况），点N为抛物线上一点，设点M移动的时间为t秒，在点M移动的过程中，以E、C、M、N四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的t值及点M的个数；若不能，请说明理由．

【回答】

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）用待定系数法求出求出抛物线解析式，再配成顶点式，求出顶点坐标；

（2）方法一：先求出∠DBE=45°，再构造出等腰直角三角形，由两腰相等建立方程求出点E的坐标；

方法二：先判断出∠BCD=90°，进而得出△OBE∽△CBD，即可求出OE即可得出结论；

（3）分两种情况讨论计算①CE为平行四边形的边，用MN=CE建立方程求出点M坐标，从而求出时间t，

②利用平行四边形的对角线互相平分，借助中点坐标建立方程组求出点M坐标即可．

【解答】解：（1）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点的抛物线，

∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

∵点C（0，3）在抛物线上，

∴3=﹣3a，

∴a=﹣1

∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线的顶点坐标为D（1，4），

（2）方法一：∵tan （α﹣β）=1，

∴α﹣β=45°，

∵∠DBO=α，∠EBO=β，

∴∠DBE=45°，

如图1，

过点E作EF⊥BD于F，

∴EF=BF，

∵B（3，0），D（1，4），

∴直线BD解析式为y=﹣2x+6①，

设点E（0，b），

∵EF⊥BD，

∴直线EF解析式为y=x+b②，

联立①②解方程组得，x=，y=（2b+3），

∴F（，（2b+3）），

∴EF2=[（6﹣B）]2+[（2b+3）﹣b]2=（6﹣b）2，FB2=[﹣3]2+[（2b+3）]2=[（2b+3）]2，

∵EF=FB，

∴EF2=FB2，

∴（6﹣b）2=[（2b+3）]2，

∴b=﹣9（舍）或b=1，

∴E（0，1），

方法二、∵tan （α﹣β）=1，

∴α﹣β=45°，

∵∠DBO=α，∠EBO=β，

∴∠DBE=45°，

∵C（0，3），B（3，0），

∴OB=OC，

∴∠OBC=45°，

∴∠CBD=∠OBE，

∵B（3，0），C（0，3），D（1，4），

∴OB=3，BC2=18，CD2=2，BD2=20，

∴BC2+CD2=BD2，

∴△BCD是直角三角形，

∴∠BCD=90°=∠BOE，

∵∠CBD=∠OBE，

∴△OBE∽△CBD，

∴，

∴，

∴OE=1，

∴E（0，1），

（3）能，

理由：∵B（3，0），C（0，3），

∴直线BC解析式为y=﹣x+3，

设点M（m，﹣m+3），

∵E、C、M、N四个点为顶点的四边形为平行四边形，

∴分CE为边和CE为对角线进行计算，

①如图2，

当CE是平行四边形的边时，MN∥CE，MN=CE，

过M作MN∥CE交抛物线于N，

∵点N在抛物线上，

∴N（m，﹣m2+2m+3），

∴MN=|﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）|=|m2﹣3m|，

∵C（0，3），E（0，1），

∴CE=2，

∵MN=CE，

∴|m2﹣3m|=2，

∴m=或m=1或m=2，

∴M（，）或（，）或（1，2）或（2，1）；

∵C（0，3）

当M（，）时，CM=，

∴t==，

当M（，）时，

同理：t=，

当M（1，2）时，CM=，

∴t=，

当M（2，1）时，CM=2，

∴t=2=2，

②当CE是平行四边形的对角线时，MN与CE互相平分，

∵C（0，3），E（0，1），

∴线段CE的中点坐标为（0，2），

∵M（m，﹣m+3），

∴CM==|m|，

∴t=|m|=|m|

∵点N在抛物线y=﹣x2+2x+3上，

设点N（n，﹣n2+2n+3），

利用中点坐标得，， =2，

∴或，

∴M（﹣，）或（﹣，），

当M（﹣，）时，

∴t=

当M（﹣，）时，

∴t=；

即：满足条件的t的值为或或1或2．点M共有6个．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题