函数f(x)的定义域为R，且对任意的，有f(a+b)=f(a)+f(b)－1,且x>0时，f(x)>...

问题详情：

函数f (x)的定义域为R，且对任意的，有f (a+b) = f (a)+f (b)－1, 且x >0时， f (x)> 1.

（1）判断f (x)的单调*，并*结论；

（2）设F(x)=1- f (x)，试*：F(x)在R上是奇函数；

（3）已知对恒成立，求实数的取值范围.

【回答】

解：（1）令任意的>，则>0

因为x >0时f (x)> 1

所以f)>1

因为f (a+b) = f (a)+f (b)－1

所以f) = f)

         = f)+ f) －1

         > f)

所以函数f (x)在R上单调递增

(2) *：因为f (a+b) = f (a)+f (b)－1

   令a=b=0，则f(0+0)=f(0)+ f(0) －1

   所以f(0)=1

令a=x，b=－x

所以f(x－x) = f(x)+f(－x) －1

所以f(－x) = －f(x)+2

因为F(x) = 1－ f (x)

所以F(－x) = 1－ f (－x)

          = f (x)+1

          = f (x) －2

          = f (x) －1

          =－F(x)

所以函数F(x) = 1－ f (x)为奇函数

（3）因为函数f (x)在R上单调递增，对恒成立

  所以－sinxa+1+对恒成立

即－a+ sinx +1= -+ sinx + 2对恒成立

所以－a

令sinx=t(－

－+t+1=－+

当时， =

所以－a，解得0a1

所以实数的取值范围为[0,1]

知识点：不等式

题型：解答题