已知三條直線l1:ax﹣y+a=0,l2:x+ay﹣a(a+1)=0,l3:(a+1)x﹣y+a+1=0,a>...
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問題詳情:
已知三條直線l1:ax﹣y+a=0,l2:x+ay﹣a(a+1)=0,l3:(a+1)x﹣y+a+1=0,a>0.
(1)*:這三條直線共有三個不同的交點;
(2)求這三條直線圍成的三角形的面積的最大值.
【回答】
【考點】IM:兩條直線的交點座標.
【分析】(1)分別求出直線l1與l3的交點A、l1與l2的交點B和l2與l3的交點C,且判斷三點的座標各不相同即可;
(2)根據題意畫出圖形,由AB⊥BC知點B在以AC為直徑的半圓上,除A、C點外;由此求出△ABC的面積最大值.
【解答】解:(1)*:直線l1:ax﹣y+a=0恆過定點A(﹣1,0),
直線l3:(a+1)x﹣y+a+1=0恆過定點A(﹣1,0),
∴直線l1與l3交於點A;
又直線l2:x+ay﹣a(a+1)=0不過定點A,
且l1與l2垂直,必相交,設交點為B,則B(,);
l2與l3相交,交點為C(0,a+1);
∵a>0,∴三點A、B、C的座標不相同,
即這三條直線共有三個不同的交點;
(2)根據題意,畫出圖形如圖所示;
AB⊥BC,
∴點B在以AC為直徑的半圓上,除A、C點外;
則△ABC的面積最大值為
S=•|AC|•|AC|=×(1+(a+1)2)=a2+a+.
知識點:直線與方程
題型:解答題
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