如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB＝BC，AD是BC邊上的高，AE是⊙O的直徑．過點C作⊙O的切線交BA的...

問題詳情：

如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB＝BC，AD是BC邊上的高，AE是⊙O的直徑．過點C作⊙O的切線交BA的延長線於點F.

(Ⅰ)求*：AC·BC＝AD·AE

(Ⅱ)若AF＝2，CF＝2，求AE的長．

【回答】

【解析】(Ⅰ)*：連線BE，由題意知△ABE為直角三角形．

∵∠ABE＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠ACB，∴△ABE∽△ADC

∴＝，即AB·AC＝AD·AE.又AB＝BC，∴AC·BC＝AD·AE.(5分)

(Ⅱ)∵FC是⊙O的切線，∴FC2＝FA·FB，

又AF＝2，CF＝2，∴BF＝4，BC＝AB＝BF－AF＝2，

∵∠ACF＝∠FBC，又∠CFB＝∠AFC，∴△AFC∽△CFB.

∴＝，AC＝＝.

知識點：幾何*選講

題型：解答題