已知函式f(x)=x3-3ax(a∈R).(1)當a=1時,求f(x)的極小值.(2)若直線x+y+m=0對任...
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問題詳情:
已知函式f(x)=x3-3ax(a∈R).
(1)當a=1時,求f(x)的極小值.
(2)若直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f(x)的切線,求a的取值範圍.
【回答】
【解析】(1)當a=1時,f′(x)=3x2-3,
令f′(x)=0,得x=-1或x=1.
當x∈(-1,1)時,f′(x)<0,
當x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時,f′(x)>0,
所以f(x)在(-1,1)上單調遞減,在(-∞,-1],[1,+∞)上單調遞增,
所以f(x)的極小值是f(1)=-2.
(2)方法一:f′(x)=3x2-3a,直線x+y+m=0,
即y=-x-m.
依題意,切線斜率k=f′(x)=3x2-3a≠-1,
即3x2-3a+1=0無解.
所以Δ=0-4×3(-3a+1)<0,所以a<.
方法二:f′(x)=3x2-3a≥-3a,
要使直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f(x)的切線,若且唯若-1<-3a時成立,所以a<.
知識點:*與函式的概念
題型:解答題
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