如圖，在△ABC中.,點O為AC上一點，以點O為圓心，OC為半徑的⊙O與AB相切於點D,AE丄BO交BO的延長...

問題詳情：

如圖，在△ABC中.,點O為AC上一點，以點O為圓心，OC為半徑的⊙O與AB相切於點D,AE丄BO交BO的延長線於點E.

(1)求*：;

(2)若BC=12,,求⊙O的半徑和AE的長.

【回答】

*：（1）如答圖，連線OD.

∵⊙O與AB相切於點D ，

∴AB⊥OD. ………………………………………………… 1分

∵∠C=90°，

∴BC⊥OC.

又OC=OD，

∴BO為∠ABC的平分線.

∴∠ABE=∠OBC. …………………………………………… 2分

∵AE⊥BO於點E，

∴∠E=90°.

∴∠BAE+∠ABE=90°，∠AOE+∠OAE=90°.

∵∠C=90°，

∴∠BOC+∠OBC=90°.

又∠AOE =∠BOC.

∴∠OBC=∠OAE.

∴∠ABE=∠OAE. ……………………………………………… 3分

∵∠BAE+∠ABE=90°，∠AOE+∠OAE=90°.

∴∠AOE=∠BAE． …………………………………………… 4分

(2)∵∠ABC+∠BAC=90°，∠DOA+∠BAC=90°，

∴∠DOA=∠ABC，

∵ ，BC=12，

∴. …………………………………… 5分

∴

∴.

∴

∴OD=6. ………………………………………………………… 6分

∵BC=12,OC=OD=6.

∴ …………… 7分

∵BC=12，OC=OD=6，AC=16，

∴AO=10.

∵∠AOE=∠BOC，∠E=∠C=90°，

∴△AOE∽△BOC. ……………………………………… 8分

∴.即 .

∴. ………………………………………… 9分

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題