如圖,已知正方形ABCD,點E是邊AB的中點,點O是線段AE上的一個動點(不與A、E重合),以O為圓心,OB為...
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問題詳情:
如圖,已知正方形ABCD,點E是邊AB的中點,點O是線段AE上的一個動點(不與A、E重合),以O為圓心,OB為半徑的圓與邊AD相交於點M,過點M作⊙O的切線交DC於點N,連線OM、ON、BM、BN.記△MNO、△AOM、△DMN的面積分別為S1、S2、S3,則下列結論不一定成立的是( )
A.S1>S2+S3 B.△AOM∽△DMN C.∠MBN=45° D.MN=AM+CN
【回答】
A.
【解析】(1)如答圖1,過點M作MP∥AO交ON於點P,∵點O是線段AE上的一個動點,
當AM=MD時,S梯形ONDA=(OA+DN)•ADS△MNO=MP•AD,∵(OA+DN)=MP,∴S△MNO=S梯形ONDA,∴S1=S2+S3,∴不一定有S1>S2+S3. 故A不一定成立.
(2)∵MN是⊙O的切線,∴OM⊥MN,又∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠A=∠D=90°,∠AMO+∠DMN=90°,∠AMO+∠AOM=90°.∴∠AOM=∠DMN.
在△AMO和△DMN中,∵,∴△AMO∽△DMN.故B成立.
(3)如答圖2,過點B作BP⊥MN於點P,∵MN,BC是⊙O的切線,
∴∠PMB=∠MOB,∠CBM=∠MOB.∵AD∥BC,∴∠CBM=∠AMB. ∴∠AMB=∠PMB.
在Rt△MAB和Rt△MPB中,∵,
∴Rt△MAB≌Rt△MPB(AAS).∴AM=MP,∠ABM=∠MBP,BP=AB=BC.
在Rt△BPN和Rt△BCN中,,∴Rt△BPN≌Rt△BCN(HL).
∴PN=CN,∠PBN=∠CBN. ∴∠MBN=∠MBP+∠PBN.∴MN=MN+PN=AM+CN.故C,D成立.
綜上所述,A不一定成立.
故選A.
知識點:相似三角形
題型:選擇題
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