(2019·*會考模擬)如圖,在正方形ABCD中,E是邊BC上的一動點(不與點B、C重合),連線DE、點C關...
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問題詳情:
(2019·*會考模擬)如圖,在正方形ABCD中,E是邊BC上的一動點(不與點B、C重合),連線DE、點C關於直線DE的對稱點為C′,連線AC′並延長交直線DE於點P,F是AC′的中點,連線DF.
(1)求∠FDP的度數;
(2)連線BP,請用等式表示AP、BP、DP三條線段之間的數量關係,並*;
(3)連線AC,若正方形的邊長為,請直接寫出△ACC′的面積最大值.
【回答】
(1)45°;(2)BP+DP=AP,*詳見解析;(3)﹣1.
【解析】
(1)由對稱得:CD=C'D,∠CDE=∠C'DE,
在正方形ABCD中,AD=CD,∠ADC=90°,
∴AD=C'D,
∵F是AC'的中點,
∴DF⊥AC',∠ADF=∠C'DF,
∴∠FDP=∠FDC'+∠EDC'=∠ADC=45°;
(2)結論:BP+DP=AP,
理由是:如圖,作AP'⊥AP交PD的延長線於P',
∴∠PAP'=90°,
在正方形ABCD中,DA=BA,∠BAD=90°,
∴∠DAP'=∠BAP,
由(1)可知:∠FDP=45°
∵∠DFP=90°
∴∠APD=45°,
∴∠P'=45°,
∴AP=AP',
在△BAP和△DAP'中,
∵,
∴△BAP≌△DAP'(SAS),
∴BP=DP',
∴DP+BP=PP'=AP;
(3)如圖,過C'作C'G⊥AC於G,則S△AC'C=AC•C'G,
Rt△ABC中,AB=BC=,
∴AC=,即AC為定值,
當C'G最大值,△AC'C的面積最大,
連線BD,交AC於O,當C'在BD上時,C'G最大,此時G與O重合,
∵CD=C'D=,OD=AC=1,
∴C'G=﹣1,
∴S△AC'C=.
【點睛】
本題考查四邊形綜合題、正方形的*質、等腰直角三角形的判定和*質、全等三角形的判定和*質等知識,解題的關鍵是學會新增常用輔助線,構造全等三角形解決問題.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題
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