下列命題中正確的是( )①若數列{an}是等差數列,且am+an=as+at(m、n、s、t∈N*),則m+...
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問題詳情:
下列命題中正確的是( ) ①若數列{an}是等差數列,且am+an=as+at(m、n、s、t∈N*),則m+n=s+t; ②若Sn是等差數列{an}的前n項的和,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差數列; ③若Sn是等比數列{an}的前n項的和,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數列; ④若Sn是等比數列{an}的前n項的和,且Sn=Aqn+B;(其中A、B是非零常數,n∈N*),則A+B為零.
A.①② | B.②③ | C.②④ | D.③④ |
【回答】
C
【解析】①取數列{an}為常數列,對任意m、n、s、t∈N*,都有am+an=as+at,故錯; ②設等差數列an的首項為a1,公差為d, 則Sn=a1+a2+…+an,S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+an+nd=Sn+n2d, 同理:S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=an+1+an+2+…+a2n+n2d=S2n-Sn+n2d, ∴2(S2n-Sn)=Sn+(S3n-S2n), ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是等差數列,此選項正確; ③設an=(-1)n,則S2=0,S4-S2=0,S6-S4=0, ∴此數列不是等比數列,此選項錯; ④因為an=Sn-Sn-1=(Aqn+B)-(Aqn-1+B)=Aqn-Aqn-1=(Aq-1)×qn-1, 所以此數列為首項是Aq-1,公比為q的等比數列,則Sn=
(Aq-1)(1-qn) |
1-q |
所以B=
Aq-1 |
1-q |
,A=-
Aq-1 |
1-q |
,∴A+B=0,故正確; 故選C.
知識點:數列
題型:選擇題
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