已知直線與拋物線（b，c為常數，）的一個交點為，點是x軸正半軸上的動點．（1）當直線與拋物線（b，c為常數，）...

問題詳情：

已知直線與拋物線（b，c為常數，）的一個交點為，點是x軸正半軸上的動點．

（1）當直線與拋物線（b，c為常數，）的另一個交點為該拋物線的頂點E時，求k，b，c的值及拋物線頂點E的座標；

（2）在（1）的條件下，設該拋物線與y軸的交點為C，若點Q在拋物線上，且點Q的橫座標為b，當時，求m的值；

（3）點D在拋物線上，且點D的橫座標為，當的最小值多時，求b的值．

【回答】

（1）-2，2，-3，；（2）3或7；（3）3

【解析】（1）由題意可知直線經過，因而把代入直線即可求出k的值，然後把代入拋物線得出含b的代數式表達c，再根據直線與拋物線（b，c為常數，）的另一個交點得出拋物線的頂點座標E，並代入直線，解方程即可求出b的值，代入即可求解；

（2）由（1）可知直線的解析式是，拋物線的解析式為，根據題意使求出C的座標，使求出Q的座標，根據已知條件作圖，延長EQ交x軸於點B，因為點D在y軸上且在直線上，所以令時求出點D的座標，看圖可知AO是△ACE以CD為底的高，設E到y軸的距離為，是△CED以CD為底的高，因此可以求出，根據求出，設點E和Q所在直線的解析式為，求出點B的座標，設點Q和點E到x軸的距離分別為，是△EMB以MB為底的高，是△BQM以MB為底的高，再根據求解，即可求出m的值；

（3）將點D的橫座標代入拋物線（b，c為常數，），根據點A的座標得到含b的代數式表達c，求出點D的縱座標為，可知點D在第四象限，且在直線的右側，取點，過點D作直線AN的垂線，垂足為G，DG與x軸相交於點M，過點D作QH⊥x軸於點H，則點H，在Rt△MDH中，可知，由題意可知點，用含b的代數式表示m，因，可得方程，求解即可得出*．

【詳解】解：（1）∵直線經過，

∴把代入直線，可得，解得；

∵拋物線（b，c為常數，）經過，

∴把代入拋物線，可得，

∵當直線與拋物線（b，c為常數，）的另一個交點為該拋物線的頂點E，

∴頂點的座標為，把代入直線，

可得，

∴，解得，

∵，∴，∴，

∴頂點的座標為．

（2）由（1）可知直線的解析式是，拋物線的解析式為，

∵拋物線與y軸的交點為C，

∴令，C的座標為，

∵點Q在拋物線上，且點Q的橫座標為b，

由（1）可知，∴，

∴Q的座標為．

延長EQ交x軸於點B，如圖1所示，

∵D在y軸上，且在直線上，

∴當時，點D的座標為，

∵AO是△ACE以CD為底的高，設E到y軸的距離為，是△CED以CD為底的高，

∴，

∴．

設點E和Q所在直線的解析式為，

把點E和點Q代入，解得：，∴該直線的解析式為，

令，求得點B的座標為．

設點Q和點E到x軸的距離分別為，是△EMB以MB為底的高，是△BQM以MB為底的高，

∴，

解得：或7，．

（3）∵點D在拋物線（b，c為常數，）上，且點D的橫座標為，

∴，

∵在拋物線（b，c為常數，）上，

∴，即，

∴，

可知點D在第四象限，且在直線的右側．

∵，

∴可取點，

如圖2，過點D作直線AN的垂線，垂足為G，DG與x軸相交於點M，

∴，得，

則此時點M滿足題意，過點D作QH⊥x軸於點H，則點H，

在Rt△MDH中，可知，

∴，

∵點，

∴，解得：，

∵，

∴，

∴．

【點睛】本題是二次函式綜合題，主要考查了待定係數法求解析式、二次函式的*質、等腰三角形的*質、三角形的面積公式等知識點，解題的關鍵是學會使用待定係數法求出拋物線的解析式．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：解答題