橢圓的中心是原點O,它的短軸長為2,A(,0),F(c,0)(c>0OF|=2|FA|,過點A的直線與橢...

問題詳情：

橢圓的中心是原點O,它的短軸長為2,A(,0),F(c,0)(c>0

OF|=2|FA|,過點A的直線與橢圓相交於P、Q兩點.

(1)求橢圓的方程及離心率;

(2)若·=0,求直線PQ的方程;

(3)設=λ(λ>1),過點P且平行於x=的直線與橢圓相交於另一點M,*=-λ.

【回答】

 (1)解:由題意,可設橢圓的方程為+=1(a>).

由已知得

解得a=,c=2.

所以橢圓的方程為+=1,離心率e=.

(2)解:由(1)可得A(3,0).

設直線PQ的方程為y=k(x-3).

由方程組

得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0,

依題意Δ=12(2-3k2)>0,

得-<k<.

設P(x1,y1),Q(x2,y2),

則x1+x2=,①

x1x2=.②

由直線PQ的方程得y1=k(x1-3),y2=k(x2-3).於是

y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9].③

∵·=0,

∴x1x2+y1y2=0.④

由①②③④得5k2=1,從而k=±∈(-,).

所以直線PQ的方程為x-y-3=0或x+y-3=0.

(3)*:=(x1-3,y1),=(x2-3,y2).

由已知得方程組

由題意知λ>1,解得x2=.

因F(2,0),M(x1,-y1),故

=(x1-2,-y1)=(λ(x2-3)+1,-y1)=(,-y1)=-λ(,y2).

而=(x2-2,y2)=(,y2),

所以=-λ.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題