四稜錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.(1)*:PB∥平面AEC;(...
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問題詳情:
四稜錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.
(1)*:PB∥平面AEC;
(2)設,三稜錐的體積 ,求二面角D-AE-C的大小
【回答】
試題分析:(1)可先連結BD交AC於點O,連結EO,根據中位線*質可*EO//P,從而可得結論;(2)由三稜錐的體積,可得,以A為座標原點,的方向為x軸的正方向,建立空間直角座標系A—xyz,分別求出平面DAE與平面ACE的一個法向量,根據空間向量夾角餘弦公式,可得結果.
試題解析:(1)連結BD交AC於點O,連結EO
因為ABCD為矩形,所以O為BD的中點
又E為的PD的中點,所以EO//PB
EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB//平面AEC
(2)因為PA平面ABCD,ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直
如圖,以A為座標原點,的方向為x軸的正方向,建立空間直角座標系A—xyz,
三稜錐的體積,
則A(0,0,0),D(0,,0),B(,0,0),E(0,,),C(,,0),
則=(0,,),=(,,0),設為平面ACE的法向量,
則即
令,得,,則 又為平面DAE的法向量,
,
如圖可得二面角為銳角,所以二面角為
【方法點晴】本題主要考查線面平行以及利用空間向量求二面角,屬於難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當的空間直角座標系;(2)寫出相應點的座標,求出相應直線的方向向量;(3)設出相應平面的法向量,利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關係轉化為向量關係;(5)根據定理結論求出相應的角和距離.
知識點:空間中的向量與立體幾何
題型:解答題
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