請閱讀下列材料:小明遇到這樣一個問題:如圖1,在邊長為a(a>2)的正方形ABCD各邊上分別擷取AE=BF=C...
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問題詳情:
請閱讀下列材料:
小明遇到這樣一個問題:如圖1,在邊長為a(a>2)的正方形ABCD各邊上分別擷取AE=BF=CG=DH=1,當∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°時,求正方形MNPQ的面積.
小明發現,分別延長QE,MF,NG,PH交FA,GB,HC,ED的延長線於點R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四個全等的等腰直角三角形(如圖2) .
請回答:
(1)若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形(無縫隙不重疊),則這個新正方形的邊長為 ;
(2)求正方形MNPQ的面積.
(3)參考小明思考問題的方法,解決問題:
如圖3,在等邊△ABC各邊上分別擷取AD=BE=CF,再分別過點D,E,F作BC,AC,AB的垂線,得到等邊△RPQ.若S△RPQ=,求AD的長.
【回答】
解:(1)四個等腰直角三角形的斜邊長為a,則斜邊上的高為a, 每個等腰直角三角形的面積為:a•a=a2, 則拼成的新正方形面積為:4×a2=a2,即與原正方形ABCD面積相等 ∴這個新正方形的邊長為a.
(2)∵四個等腰直角三角形的面積和為a2,正方形ABCD的面積為a2, ∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2.
(3)如答圖1所示,分別延長RD,QF,PE交FA,EC,DB的延長線於點S,T,W. 由題意易得:△RSF,△QEF,△PDW均為底角是30°的等腰三角形,其底邊長均等於△ABC的邊長. 不妨設等邊三角形邊長為a,則SF=AC=a. 如答圖2所示,過點R作RM⊥SF於點M,則MF=SF=a, 在Rt△RMF中,RM=MF•tan30°=a×=a, ∴S△RSF=a•a=a2. 過點A作AN⊥SD於點N,設AD=AS=x, 則AN=AR•sin30°=x,SD=2ND=2ARcos30°=x, ∴S△ADS=SD•AN=•x•x=x2.
∵三個等腰三角形△RSF,△QEF,△PDW的面積和=3S△RSF=3×a2=a2,正△ABC的面積為a2, ∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS, ∴=3×x2,得x2=,解得x=或x=-(不合題意,捨去) ∴x=,即AD的長為.
知識點:解直角三角形與其應用
題型:解答題
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