先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.解：將“x＋y”看成整體，令x...

問題詳情：

先閱讀下列材料，再解答下列問題：

材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.

解：將“x＋y”看成整體，令x＋y＝A，則

原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.

再將“A”還原，得原式＝(x＋y＋1)2.

上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數學解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：

(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝_______________；

(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；

(3)求*：若n為正整數，則式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一個整數的平方．

【回答】

(1)(x－y＋1)2；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

分析：（1）把（x-y）看作一個整體，直接利用完全平方公式因式分解即可；(2)令A=a+b,帶入後因式分解即可將原式因式分解；(3)將原式轉化為(n²+3n) 【(n+1)（n+2）】+1,進一步整理為(n²+3n+1) ²,根據n為正整數，從而說明原式是整數的平方.

本題解析：

(1).1+2(x-y)+(x+y) ²=（x﹣y+1）2；

（2）令A=a+b，則原式變為A（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2，

故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2；

（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1=（n2+3n）【（n+1）（n+2）】+1

=（n2+3n）（n2+3n+2）+1

=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1

=（n2+3n+1）2，

∵n為正整數，

∴n2+3n+1也為正整數，

∴代數式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一個整數的平方．

點睛;本題考查了因式分解的應用，解題的關鍵是認真審題你，理解題意，掌握整體思想解決問題.

知識點：因式分解

題型：解答題